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Mathématiques

Les fonctions affines et linéaires en 3ème

Tout comme il existe des triangles de différentes natures (rectangle, équilatéral…), il existe différents types de fonctions. Les fonctions affines et linéaires constituent la « famille » de fonctions la plus facile à étudier, et elles permettent de résoudre des problèmes de façon graphique. C’est pourquoi elles sont étudiées en 3ème.

Fonction affine ?

Une fonction affine est de la forme f : x → ax + b ou bien f(x) = ax + b
a et b étant deux nombres

a s'appelle le coefficient directeur et 
b l’ordonnée à l’origine (nous verrons pourquoi dans quelques paragraphes !). 

Un exemple

la fonction g(x) = -3x + 5 est affine : 
le coefficient directeur (a) vaut – 3 et l’ordonnée à l’origine (b) vaut 5.

Le calcul d’une image par g peut se représenter par la « machine mathématique » ci-dessous :

Capture d’écran 2016-06-19 à 21.49.18

Ainsi, l’image de 4 par cette fonction est g(4) = -3 × 4 + 5 = – 12 + 5 = – 7.

Toutes les fonctions affines reviennent à faire les mêmes opérations : en partant du nombre de départ, on le multiplie par le coefficient directeur, puis on lui ajoute l’ordonnée à l’origine.

Ces deux nombres peuvent être négatifs, donc il faut parfois soustraire au lieu d’ajouter.

Quelques exemples de fonctions affines

Le coefficient directeur est 4l’ordonnée à l’origine est – 7.

Le coefficient directeur est  3 .... 2  , l’ordonnée à l’origine est 5.

Le coefficient directeur est 9, il n’y a pas d’ordonnée à l’origine, qui est donc égale à 0. 
On appelle cela une fonction linéaire.

Il n’y a pas de coefficient directeur, qui est donc 0L’ordonnée à l’origine est 8,5. C’est une fonction constante.

Pour ne pas se tromper

Le coefficient directeur est le nombre qui multiplie x
l’ordonnée à l’origine est le nombre qui est ajouté ou soustrait.

Calcul d’image

Il est assez facile de calculer l’image d’un nombre par une fonction affine.
Par exemple, pour la fonction g(x) = -4x – 5si on souhaite calculer l’image de -2, il suffit de remplacer x par -2 :

g(-2) 
= -4 × (- 2) – 5 
= 8 – 5 
= 3. 

L’image de -2 par g est 3. Cela peut se représenter par le schéma ci-dessous :

Fonction affine

Calcul d’antécédent

Il est plus difficile de calculer un antécédent, c’est-à-dire de retrouver un « nombre de départ » quand on connaît le « nombre d’arrivée ».

Par exemple, calculons un antécédent de 15 par la fonction g(x) = -4x – 5 :

Sans titre

Cela ne revient pas à remplacer x par 15, ce qui nous donnerait non pas un antécédent mais l’image de 15.

Pour calculer un antécédent, il faut chercher le nombre x tel que g(x) = 15.
Autrement dit, comme g(x) = -4x – 5, on résout l’équation -4x – 5 = 15.

Résolution équation

On trouve que l’antécédent de 15 par la fonction g est – 5.

fonction par antécédent

En résumé : pour trouver l’antécédent d’un nombre y par une fonction affine f(x) = ax + b, il suffit de résoudre l’équation ax + b = y.

Représentation graphique


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