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Mathématiques

Les puissances en 3ème

Pas à pas pour comprendre les puissances.. 

3 000 ans avant notre ère, Belkib, roi des Indes, cherchait à tromper son ennui. Il promit donc une récompense exceptionnelle à qui lui proposerait une distraction. Lorsque le sage Sissa, lui présenta le jeu d'échecs, le souverain, enthousiaste, demanda à Sissa ce que celui-ci souhaitait en échange de ce cadeau extraordinaire. 
Humblement, Sissa demanda au roi de déposer un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième… et ainsi de suite pour remplir l'échiquier en doublant la quantité de riz à chaque case. 
Le prince accorda immédiatement cette récompense en apparence modeste… mais son conseiller lui expliqua qu'il venait de précipiter le royaume dans la ruine, car les récoltes de l'année ne suffiraient pas à payer Sissa. 

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Les puissances

Grâce aux puissances, nous pouvons expliquer la fin de cette histoire.

Une puissance correspond à une multiplication répétée.

Si a est un nombre et n un nombre entier positif, alors areprésente le nombre a, multiplié par lui-même n fois.

Par exemple : 73 = 7 × 7 × 7 = 343  et  37 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 2 187.

Revenons à nos grains de riz : le roi doit déposer 1 grain sur la première case, puis 2 grains sur la deuxième, 4 grains (22) sur la troisième, 8 grains (23) sur la quatrième… 
En continuant ainsi, il faudrait déposer 263 grains sur la dernière case, la 64ème.  
263 = 2 × 2 × 2 × … × 2 = 9 223 372 036 854 775 808 grains, ce qui correspond à plus de 500 ans de la production mondiale actuelle de riz !

Quelques cas particuliers :

Une puissance peut être négative.

Si a est un nombre et n un nombre entier positif, alors 

Puissance1

C’est-à-dire que  

Puissance2

et 

Puissance négative

 

Il faut faire bien attention à l’emplacement du signe –, qui n’a pas toujours la même signification :

 – 53 = – 5 × 5 × 5 = – 125,

Mais 

puissance en 3ème

Les formules utiles pour calculer les puissances

Pour effectuer des calculs avec des puissances, quelques formules sont à connaître: 

Multiplication et division

Si a est un nombre, et m et n des nombres entiers : 

am × an = am+n et 

Puissance en mathématiques

Autrement dit, multiplier deux mêmes nombres avec des puissances revient à additionner les puissances, et diviser deux mêmes nombres avec des puissances revient à soustraire les puissances.

Ainsi, il peut être demandé d’écrire le calcul suivant avec une seule puissance 

Calcul de puissances

 En utilisant les formules : 

Calcul de puissance 2

Attention, ces formules ne fonctionnent qu’avec la multiplication et la division, mais pas avec l’addition et la soustraction. Par exemple, 34 + 35 n’est pas égal à 39.

Puissance de puissance

Si a est un nombre, et m et n des nombres entiers :  (am)n = am×n 

Que se passe-t-il ? On met a à la puissance m, puis on remet le résultat à la puissance n. Cela revient à multiplier les puissances.

Par exemple, (113)2 donne le même résultat que 116.

Nombre différents, même puissance

Si a et b sont des nombres, et n un nombre entier :  

an × bn = (a × b)n et

Puissance4

Autrement dit, lorsqu’on multiplie deux nombres avec la même puissance, l’ordre dans lequel on effectue la multiplication et la mise à la puissance n’importe pas. Idem pour la division.

Attention, ces formules ne fonctionnent qu’avec la multiplication et la division, mais pas avec l’addition et la soustraction. Par exemple, 32 + 42 n’est pas égal à (3 + 4)2.

La mise au carré (à la puissance 2) d’une addition ou d’une soustraction est étudiée en 3ème grâce aux identités remarquables.

Les puissances de 10

Cette partie est en général déjà abordée en 4ème, mais l’année de 3ème peut être l’occasion d’un approfondissement.

Les puissances de 10 sont 


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