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Mathématiques

Médiane et étendue : les statistiques en 3ème

En plus de la moyenne étudiée en 4ème, la médiane et l'étendue permettent d'analyser des données de façon plus fine. En particulier, la médiane est un indicateur important qui permet de former des "groupes", mais elle est parfois mal comprise dans la vie courante. L'année de 3ème est l'occasion d'y voir plus clair.

Médiane

La médiane est un indicateur souvent très utilisé, parfois mal compris, mais assez représentatif.

Avec une liste

Le principe de la médiane (à ne surtout pas confondre avec la moyenne !) est de « couper une série en deux ».
Ainsi, supposons qu’un entraîneur de natation veuille former deux groupes de niveau,  demande à ses 9 nageurs de parcourir deux longueurs en nage libre, et relève les temps suivants en secondes :

30,6 ; 29,1 ; 32,9 ; 35,1 ; 30,0 ; 36,4 ; 31,7 ; 35,5 ; 33,9

En rangeant les temps dans l’ordre croissant, on obtient :

29,1 ; 30,0 ; 30,6 ; 31,7 ; 32,9 ; 33,9 ; 35,1 ; 35,5 ; 36,4 

On peut déjà isoler les 4 meilleurs nageurs et les 4 moins bons, mais il reste un nageur qui pourrait être dans l’un ou l’autre groupe : celui qui a nagé en 32,9 s.

Ce temps est appelé la médiane de la série statistique : il partage la série en deux groupes de même effectif.

Il y aurait eu une petite difficulté supplémentaire s’il y avait eu un 10ème nageur. Supposons qu’un autre nageur arrive dans le cours de natation, et soit capable de nager en 28,7 secondes.

La liste des temps dans l’ordre croissant devient :

28,7 ; 29,1 ; 30,0 ; 30,6 ; 31,7 ; 32,9 ; 33,9 ; 35,1 ; 35,5 ; 36,4 

Comme l’effectif du groupe est devenu pair, il n’y a plus de « nombre au milieu », il y en a deux !

La médiane est alors la moyenne de ces deux nombres, on calcule : (31,7 + 32,9) ÷ 2 = 32,3 s.

En résumé : lorsque la série est rangée dans l’ordre (croissant ou décroissant)

Avec le tableau d’effectifs

Il est un peu plus difficile de déterminer une médiane dans un tableau d’effectifs, car on ne peut plus visualiser la liste de valeurs et son « milieu ».

Prenons ce tableau de pointures de chaussures :

tableau d'effectifs

Si on devait représenter ce tableau sous forme de liste, on le ferait ainsi :

39 ; 39 ; 40 ; 40 ; 40 ; 40 ; 41 ; 41 ; 41 ; 41…

Il y aurait en tout 61 nombres et ce ne serait pas une méthode efficace. Essayons autre chose.
Comme l’effectif total est de 61, essayons de diviser 61 par 2, pour trouver la position de la valeur centrale : 61 ÷ 2 ≈ 30,5.

En arrondissant ce nombre à 31, on constate que la valeur centrale de la série est la 31ème.

Il nous reste maintenant à savoir quelle est cette 31ème valeur. Pour cela, nous pouvons calculer les effectifs cumulés croissants : on rajoute une ligne dans laquelle on calcule la somme des effectifs, de gauche à droite :

Médiane en 3ème

Cela signifie que :

En particulier, les valeurs de la 30ème à la 43ème sont des 43. Ainsi, la 31ème valeur, la valeur centrale, est 43.
On en conclut que la médiane est 43.

Autre tableau d’effectifs

Voici un tableau donnant la hauteur maximale sautée lors d’une épreuve de saut en hauteur :

Tableau d'effectif 3ème

Calculons la hauteur médiane.

L’effectif total est 15 + 6 + 13 + 9 + 1 + 6 = 50. Il y a donc 50 athlètes. Comme l’effectif total est pair, il n’y a non pas une mais deux valeurs centrales.
On divise l’effectif total par 2 : 50 ÷ 2 = 25. Les deux valeurs centrales sont la 25ème et la 26ème et la médiane est la moyenne de ces deux valeurs.

On rajoute une ligne d’effectifs cumulés croissants :

tableau 3ème maths

La 25ème et la 26ème valeur sont 1,20 m. La médiane est donc égale à 1,20 m.

Avec les fréquences


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