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Mathématiques

Solides et volumes en 3ème

Le collège est l’occasion de découvrir des solides : pavés droits, pyramides, cylindre, cônes et boules. 

Les calculs de volumes sont souvent abordés au Brevet, c’est pourquoi il est important de connaître et d’utiliser toutes les formules de calcul de volume en fin de 3ème

Pavé droit

Un pavé droit est un solide délimité par six faces rectangulaires. 

Pavé droit 3ème

Il possède 3 dimensions : hauteur, largeur et Longueur.
Le volume d’un pavé droit est égal au produit de ces trois dimensions :

Volume = hauteur × largeur × Longueur

Si on appelle h la hauteur, l la largeur et L la Longueur, on écrira V = h × l × L. 

Cube

Un cube est un pavé droit dont toutes les faces sont carrées
La hauteur, la largeur et la longueur étant identiques, un cube n’a qu’une dimension, appelée arête.

Cube

Le volume d’un cube est donc égal à : 

Volume = arête × arête × arête

On préfère l’écrire avec une puissance : si a est l’arête d’un cube, et V son volume :

V = a × a × a = a3

Cylindre

Un cylindre de révolution est un solide composé de :

Cylindre en 3ème

On l’appelle cylindre de révolution car on peut l’obtenir en « faisant tourner » un rectangle autour de l’un de ses côtés.

Un cylindre a deux dimensions : sa hauteur, et le rayon de ses disques de base.

Son volume est égal au produit de l’aire de la base par la hauteur

Volume = aire de la base × hauteur

Toutefois, la base est un disque. L’aire d’un disque est égale à : π × rayon² 
Ainsi, le volume d’un cylindre est égal à :

Volume = π × rayon² × hauteur

Si on appelle r le rayon et h la hauteur, V = π × r² × h

Ne pas oublier que le carré d’un nombre est égal au produit de ce nombre par lui-même. Par exemple, 5² = 5 × 5 = 25, et 1,5² = 1,5 × 1,5 = 2,25.
Le carré ne doit pas être confondu avec le double : 5² n’est pas égal à 10.

Pyramide

Une pyramide est constituée :

Pyramide en 3ème

Cette pyramide est régulière (comme les pyramides d’Égypte) : sa base est un carré, qui est un polygone régulier (tous ses côtés et tous ses angles sont égaux) et les triangles qui relient la base au sommet sont isocèles.

Mais il est tout à fait possible qu’une pyramide ne soit pas régulière, notamment le sommet n’est pas toujours « au-dessus » de la base, comme ci-dessous :

Pyramide irrégulière 3ème

Le volume d’une pyramide est le produit de l’aire de la base par la hauteur, divisé par 3.

Capture d’écran 2016-07-09 à 15.36.53

Il faut donc calculer l’aire de la base de la pyramide avant d’en déduire le volume.

Calculons le volume de la pyramide ci-dessous 

Calcul volume pyramide 3ème

La base est un carré, dont l’aire est égale à 4 × 4 = 16 cm².
La hauteur est de 5,5 cm.

Capture d’écran 2016-07-09 à 15.38.47

 

Les pyramides (et les cônes) sont aussi l’objet d’un travail sur l’agrandissement et la réduction de figures, dont un exemple est donné dans la fiche sur l’homothétie.

Attention à ne pas confondre la formule du volume d’une pyramide avec la formule de l’aire d’un triangle, qui est :

Capture d’écran 2016-07-09 à 15.40.04

Cône

Un cône de révolution est constitué :

Cône en 3ème

On peut obtenir un cône en « faisant tourner » un triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit, d’où l’appellation « cône de révolution ».

Un cône a deux dimensions : sa hauteur, et le rayon du disque de base.

La formule du volume d’un cône est la même que celle de la pyramide :

Capture d’écran 2016-07-09 à 15.41.58

Toutefois, la base est un disque. L’aire d’un disque est égale à : π × rayon² 
Ainsi, le volume d’un cône est égal à :

Capture d’écran 2016-07-09 à 15.42.45

Si on appelle r le rayon et h la hauteur

Capture d’écran 2016-07-09 à 15.44.07

Sphère et boule


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