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Mathématiques

Calcul littéral en 4ème

Le calcul littéral est un des chapitres les plus importants du collège, car il permet de travailler sur des nombres dont on ne connait pas (toujours) la valeur et d’établir des formules, nécessaires pour faire des mathématiques un peu plus élaborées.

Son apprentissage se fait tout au long du collège : on écrit ses premières expressions littérales en 5ème (et dans certains exercices de 6ème), mais plusieurs notions fondamentales sont découvertes ou très approfondies en 4ème

Expressions littérales

Au collège, le mot « expression » signifie « enchaînement  de calculs ».

Quelques exemples d’expressions :

Pour calculer correctement ces enchaînements d’opérations, il faut tenir compte des priorités opératoires.

Une « expression littérale » est un enchaînement d’opération qui comporte une ou plusieurs lettres. Ces lettres représentent un nombre, dont on ne connaît souvent pas la valeur.

Voici des expressions littérales :

On utilise souvent les lettres x et y, ou a, b et c, ou bien i, j et n (lorsqu’on travaille sur des nombres entiers). En tout cas, le choix de la lettre n’a pas d’importance : sans autre précision, « 2 + x » est équivalente à « 2 + y ».

Votre enfant a sans doute déjà fait des exercices où des nombres étaient représentés par des symboles (♣♥♠♦), ce qui revient au même.

Pour l’instant, on ne peut pas calculer la valeur de ces expressions littérales, car on ne connaît pas la valeur des lettres… Mais cela ne signifie pas qu’on ne peut rien en faire, et c’est là tout leur intérêt !

Même sans connaître la valeur des lettres, il est possible de manipuler ces calculs, d’en déduire des règles ou des propriétés, ou d’établir des formules qui « fonctionnent » quelle que soit la valeur qu’on attribue à ces lettres.

Votre enfant a d’ailleurs déjà vu des formules, comme celle qui permet de calculer le périmètre d’un rectangle (L × 2 + l × 2, L et l représentant la longueur et la largeur du rectangle) ou bien l’aire d’un cercle (r × π²).

Il est plus efficace d’écrire « r × π² » que « le produit du rayon et du carré de Pi », et la plupart des règles mathématiques de fin de collège et du lycée s’énoncent avec des lettres.

A propos, π (pi) est un autre exemple de la nécessité du calcul littéral, car c’est un nombre dont on ne peut pas écrire la valeur exacte avec des chiffres.

Voyons  comment manipuler les expressions littérales.

Évaluer une expression

Paradoxalement, pour travailler sur des expressions littérales, il faut d’abord apprendre à… se débarrasser des lettres.

On l’a dit dans la partie précédente, à première vue, impossible de calculer « x + 3 ».

Mais si on suppose que x vaut 7 (on écrira x = 7), alors on peut calculer x + 3 = 7 + 3 = 10.
Ou encore, si on suppose que x vaut - 8, alors x + 3 = - 8 + 3 = - 5.

x est parfois appelée la variable, car le résultat varie en fonction de x.

Ce qu’on a fait (remplacer une lettre par un nombre puis calculer le résultat) s’appelle évaluer une expression littérale.

C’est exactement ce qui se passe lorsqu’on applique une formule d’aire ou de périmètre : si la longueur d’un rectangle est de 9 cm et sa largeur de 5 cm, on calcule son périmètre avec la formule L × 2 + l × 2 pour L = 9 et l = 5 :

L × 2 + l × 2 = 9 × 2 + 5 × 2 = 18 + 10 = 28 cm.

Il y a trois autres règles à prendre en compte 

Plusieurs lettres

Pour évaluer une expression comportant plusieurs lettres, comme «  5 + a + b – 3 × a », il faut remplacer toutes les lettres a et b par des nombres. 

Mais attention : dans un même calcul, une lettre ne peut pas avoir deux valeurs différentes. 

Si on suppose que a = 4 et b = 1, alors il faut remplacer les deux lettres a par 4 :

5 + a + b – 3 × a 
= 5 + 4 + 1 – 3 × 4 
= 5 + 4 + 1 – 12 
= 10 – 12 
= - 2

Suppression du signe ×

Pour aller plus vite, on n’est pas tenu d’écrire les signes × qui précèdent des lettres.

Autrement dit, 3n signifie 3 × n.

Cette règle a été choisie pour rendre les calculs plus lisibles et parfois plus intuitifs. Si p représente le prix d’une pomme, alors on trouve le prix de 4 pommes en calculant 4 × p, c’est-à-dire 4p… « 4 pommes ».

Elle pose néanmoins quelques difficultés. 

Essayons d’évaluer « 5x + 7 » pour x = 2.
En remplaçant x par 2, on pourrait être tenté d’écrire « 52 + 7 »… alors que 5x signifie 5 × x !
Pour x = 2 : 
5x + 7 
= 5 × 2 + 7 
= 10 + 7 
= 17.

A retenir sur le calcul littéral 


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