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Spé Maths

Démonstrations par récurrence

L’étude des suites permet de travailler un type de raisonnement qui ne s’applique qu’avec des nombres entiers : le raisonnement par récurrence.

Pourquoi et comment "le raisonnement par récurrence"?

Calculs et démonstrations

En mathématiques, il est fréquent de devoir démontrer des résultats qui dépendent de nombres, entiers ou réels :

« Pour tous a et b réels, (a + b)² = a² + 2ab + b² » (c’est une identité remarquable)
« Pour tout x supérieur ou égal à 1, x² ≥ x »
« Le carré d’un nombre entier impair est toujours égal à un multiple de 4, plus 1 »

Les propriétés ci-dessus sont assez simples à démontrer.

Pour la dernière, on peut rédiger ainsi :

Soit n un nombre entier impair. Il existe alors k, nombre entier, tel que n = 2k + 1.
On calcule n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k²+k) + 1.
4(k²+k) est un multiple de 4. Ainsi, n² est bien égal à un multiple de 4, plus 1.

Pour démontrer une propriété vraie pour tout nombre, il ne suffit pas de vérifier qu’elle marche sur quelques exemples ! Il est obligatoire de se donner un nombre désigné par la lettre n et de faire le calcul.

Parfois, c’est plus compliqué…

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