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Philosophie

La démonstration

" Il n'y a rien de plus estimable que la justesse de l'esprit dans le discernement du vrai et du faux." 
Antoine Arnauld, La logique ou l'art de penser ( 1683 )

La notion de démonstration peut être traitée de façon spécifique mais il semble plus pertinent de l'articuler à la notion de vérité, centrale dans cette partie du programme, à travers par exemple la question suivante : 

Ne doit-on tenir pour vrai que ce qui est démontrable 

Question qui peut constituer un moment clef d'une réflexion plus complète sur la vérité. 
Par ailleurs, les élèves doivent être capables d'identifier au terme d'un cours sur la démonstration, la relation qui unit cette notion à celle de raison. 

Nous proposons ici trois axes de réflexion pour permettre aux lycéens de saisir les aspects essentiels de cette notion : 

Qu'est-ce que la démonstration ?

Démontrer, c'est montrer à nouveau, donner des signes probants, montrer de manière appuyée  - on parlera de démonstration de force ou d'un tempérament démonstratif- et c'est aussi prouver.

Démontrer, ce n'est pas seulement montrer comme le font les sensations ou l'expérience « il n'y a pas de science par la sensation » selon Aristote (voir le texte plus bas)  ; les faits (l'expérience) montrent mais ne démontrent pas. 

La démonstration fait appel à la raison ; elle est un raisonnement qui montre la valeur de vérité d'un jugement selon une modalité, une mise en forme particulière. 

De façon plus stricte, la démonstration est donc la mise en œuvre d'un processus par lequel la raison va suivre un certain ordre à partir duquel elle vise à établir une conclusion vraie.

La démonstration est donc un raisonnement qui vise à établir le vrai,

(voir la fiche sur la vérité). 

On peut donc nommer scientifique le jugement obtenu par démonstration : 

Ce que nous appelons savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration.

Aristote ( Seconds Analytiques, I, chapitre 2 ). 

La démonstration obéit à des règles logiquesà des « lois » rationnelles.

Le critère de la nécessité est donc ce qui fait la particularité et la force du raisonnement démonstratif.

La nécessité désigne la manière dont la conclusion du raisonnement va découler de ce qui a été posé, la démonstration étant un raisonnement par inférence, qui déduit une conclusion à partir de certains éléments posés au départ. Ces éléments peuvent être :

Le syllogisme est un discours tel que certaines choses ayant été posées, d'autres en découlent nécessairement par le seul fait de ces données.

Aristote (voir le texte plus bas)

Aristote, considéré comme un des fondateurs de la logique, formalisera le raisonnement démonstratif sous le nom de « syllogisme ».

Le syllogisme consiste à poser deux propositions dont on va déduire une troisième. Il est donc la forme par excellence du raisonnement déductif. Ainsi, si on admet les prémisses posées au départ du raisonnement, on ne peut nier la valeur de vérité de la conclusion ( la conclusion est en réalité contenue dans la majeure, la mineure sert à la montrer ).

La vérité de la conclusion d'un raisonnement démonstratif apparaît ainsi « double » : 

Par exemple, une des règles du syllogisme est qu'on ne peut jamais poser deux prémisses qui sont particulières. L'une des deux doit être une proposition générale (selon Aristote, elle est dite  « universelle ».) De même, l'une des prémisses doit être une affirmative (on ne peut rien conclure de deux propositions négatives).

La particularité et la puissance du syllogisme réside dans sa dimension logique, c'est-à-dire l'ensemble des règles de raisonnement auxquelles il obéit. 

En quoi la démonstration est-elle un moyen d'atteindre le vrai ? 

Cette mise en forme de la démonstration par le syllogisme comme forme élémentaire du raisonnement témoigne de la volonté de formaliser la pensée, qui a d'abord émergé dans le monde intellectuel grec, chez les géomètres en particulier, dont on peut dire que ce sont eux qui ont ont inventé le raisonnement démonstratif (voir le texte de R. Blanché plus bas). 

Les grecs ont raisonné avec toute la justesse possible dans les mathématiques, et ils ont laissé au genre humain des modèles dans l'art de démontrer.

Leibniz, Nouveaux Essais sur l'entendement humain.

Si l'invention de la démonstration mathématique est une des plus belles de l'esprit humain selon Leibniz, c'est parce qu'elle peut servir de modèle ou de préparation à celui qui veut apprendre à bien raisonner.

On rappellera aux élèves qu'à l'entrée de l'Académie de Platon, il était inscrit : « nul n'entre ici s'il n'est géomètre ».

La connaissance mathématique est en effet chez Platon un préalable à la connaissance philosophique, car elle prépare l'esprit à l'abstraction mais elle repose sur des hypothèses indémontrables. 

On retrouve dans la pensée de Descartes une réelle fascination pour la puissance et l'efficacité de la démonstration mathématique. Parce qu'elle part de propositions élémentaires évidentes, claires et distinctes, et qu'elle procède par déduction du plus simple au plus complexe, elle constitue un véritable modèle qui doit inspirer la méthode pour qui veut apprendre à bien conduire sa raison et à s'exercer dans le droit chemin qui conduit à la vérité. (voir le texte de Descartes dans la fiche sur la raison et le réel).  

Le Géomètre de Vermeer

Quelles sont la valeur et les limites de la démonstration ? Peut-on tout démontrer ?

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