Nous avons vu que les puissances de 10 et les préfixes nous permettent d’exprimer des nombres infiniment grands ou petits, qui sont nécessaires à d’autres sciences comme la Physique.

Par exemple, une année lumière (la distance parcourue par la lumière en une année, soit environ 9 460 000 000 000 000 mètres) peut s’écrire 9460 × 10¹² mètres, ou bien 9,46 × 10¹⁵ mètres, ou encore 9 460 000 Mm avec les préfixes.

Il existe en fait une façon « standard » d’écrire des nombres infiniment grands ou petits avec les puissances de 10 : c’est la notation scientifique.

Notation scientifique

On dit qu’un nombre est en notation scientifique lorsque c’est le produit :

• d’un nombre dont la partie entière comporte un chiffre non nul (ce nombre s’appelle la mantisse),
• et d’une puissance de 10.

Ainsi, dans l’exemple de l’année lumière, 9,46 × 10¹⁵ est en notation scientifique : c’est le produit (la multiplication) d’une mantisse (9,46) dont la partie entière comporte un chiffre non nul (9), et d’une puissance de 10 (10¹⁵).

En revanche, 9460 × 10¹² n’est pas en notation scientifique, car sa partie entière (9 460) comporte plusieurs chiffres.

Quel est l’intérêt de se forcer à écrire des nombres de cette manière ?

Cela permet tout d’abord un gain de place (9 460 000 000 000 000 est plus long et moins lisible que 9,46 × 10¹⁵). De plus, la règle du chiffre unique dans la partie entière permet de comparer immédiatement deux nombres en écriture scientifique :

• il est difficile de comparer 9,46 × 10¹⁵ avec 3 027 × 10¹³ (la distance du Soleil à l’étoile la plus proche, Proxima du Centaure) car il faut d’abord recalculer ces nombres en écriture décimale, ça prend du temps.
• par contre, on compare très bien 9,46 × 10¹⁵ avec 3,027 × 10¹⁶ qui sont en notation scientifique : il suffit de comparer les puissances de 10 ! Comme les parties entières (9 et 3) sont plus petites que 10, la grandeur du nombre est déterminée principalement par la puissance de 10. 16 est plus grand que 15, donc 3,027 × 10¹⁶ est plus grand que 9,46 × 10¹⁵, et c’est tout.

Nous allons aussi découvrir comment faire des multiplications et divisions avec deux nombres en notation scientifique, et découvrir des problèmes que cela peut résoudre.

Avant cela, il faut d’abord maîtriser cette notation, et savoir écrire n’importe quel nombre en notation scientifique.

Lire un nombre en notation scientifique

Comment faire pour retrouver à quel nombre décimal correspond, par exemple, 1,5 × 10¹¹ m (la distance Terre-Soleil) ?

Comme la notation scientifique n’est qu’un produit d’un nombre avec une puissance de 10, on applique la règle de multiplication par une puissance de 10 :

• si la puissance est d’exposant positif (comme 10, 100, 1 000…), on décale la virgule à droite, pour agrandir le nombre,
• si la puissance est d’exposant négatif (comme 0,1, 0,01…), on décale la virgule à gauche, pour réduire le nombre.

La masse du Soleil (1,5 × 10¹¹)

Dans 1,5 × 10¹¹, il faut décaler la virgule 11 fois vers la droite. Mais il n’y a qu’un chiffre à droite de la virgule, on ne peut la décaler qu’une fois !
Dans ce cas, on la décale 1 fois et on rajoute 10 zéros (1 + 10 = 11).
1,5 × 10¹¹ = 150 000 000 000 m.

La masse de la Terre (5,972 × 10²⁴ kg) 

L’exposant est positif, donc il faudrait décaler la virgule de 24 rangs vers la droite. 
Il n’y a que 3 chiffres après la virgule, donc nous ajoutons 21 zéros (3 + 21 = 24).
5,972 × 10²⁴ = 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg (heureusement qu’on a inventé la notation scientifique !)

Le rayon d’un atome d’hydrogène (5,3 × 10^-8 mm).

Cette fois, l’exposant est négatif, donc il faudra décaler la virgule 8 fois vers la gauche !
Il n’y a qu’un chiffre à gauche, donc il faudra rajouter 7 zéros (7 + 1 = 8), puis rajouter un dernier zéro à gauche de la virgule, car il faut toujours écrire la partie entière d’un nombre, même si elle est nulle.
5,3 × 10^-8 = 0,000 000 053 mm. (notez qu’on a bien décalé la virgule 8 fois).

Voilà pour la lecture des notations scientifique. Pour plus d’exemples, n’hésitez pas à relire la partie « Multiplications » de la fiche sur les puissances de 10.

Écrire un nombre en notation scientifique