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Spé Maths

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle permet de redéfinir la puissance d’un nombre, mais aussi de modéliser des phénomènes en probabilités, la désintégration de noyaux radioactifs, l’évolution d’un capital… Bref, c’est un véritable couteau suisse des mathématiques !

L’étude des fonctions dérivées permet de définir une nouvelle fonction très importante en mathématiques : la fonction exponentielle.

A la découverte de la fonction exponentielle 

La fonction exponentielle, est l’unique fonction f :

Plutôt qu’avec une lettre comme f ou g, on notera cette fonction exp.
On a donc exp’ = exp et exp(0) = 1.

On peut montrer que cette fonction existe bien et qu’elle est unique.

Voici sa courbe représentative :

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle

exp est toujours positive, et comme elle est sa propre dérivée, elle est donc toujours croissante.

En fait, elle croît « de plus en plus vite » : plus elle croît, plus elle prend des valeurs élevées, plus elle croît davantage.

C’est même de toutes les fonctions connues jusqu’alors, celle dont la croissance est la plus rapide : même les fonctions puissances (x², x4, voir x1000 !) finiront par croître moins vite que exp.

Comparaisons de fonctions

Comparaisons de fonctions

x² (en rouge) est rapidement dépassée, et même x(en bleu), qui croît pourtant très vite (104 = 10 000) finit par croître moins vite que exp.

En ce qui concerne les nombres négatifs, la valeur de exp se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais l’atteindre.

Des règles de calcul

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