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Mathématiques

L’homothétie en 3ème

Nouveau chapitre du programme 2016. Peu de ressources sur internet pour s'entraîner, mais on vous tient au courant ! 

L’homothétie est une transformation, comme la symétrie et la rotation. Elle permet d’agrandir ou de réduire des figures géométriques.

Du grec 
homo : semblable 
thesis : position

Ainsi, si on place un point et qu’on dessine une grenouille bleue :

Grenouille bleue

L’homothétie de rapport –2 va doubler les dimensions de cette grenouille, et la retourner, comme un miroir grossissant :

Homothétie grenouille

En revanche, l’homothétie de rapport 0,5 nous permet de dessiner une grenouille miniature à côté de la première.

Homothétie de grenouille

Le but de ce chapitre est de comprendre l’effet que peut avoir une homothétie sur une figure géométrique.

Définition de l'homothétie et exemples

Soit un point O, qu’on appellera centre, et un nombre k, qu’on appellera rapport.
Si A est un point, l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k est :

La définition, même si elle est nécessaire, est un peu « lourde ».

Donc voici plutôt deux dessins :

Ici, on a d’abord tracé le triangle ABC (bleu). 
Puis on a tracé son homothétie de centre O et de rapport 3
On obtient le triangle A’B’C’ (rouge)

Définition homothétie

Repartons du triangle ABC (bleu). 
Puis traçons son homothétie de centre O et de rapport –2
On obtient le triangle A’B’C’ (rouge).

Le rapport étant négatif et supérieur à 1, on peut voir O comme un « miroir grossissant ».

Homothétie

Dans ces deux exemples, la figure rouge était un agrandissement de la figure bleue, car les rapports étaient soit supérieurs à 1soit inférieurs à –1.

Dans une homothétie dont le rapport est supérieur à 1 ou inférieur à -1, on obtient un agrandissement de la figure initiale. 
Dans une homothétie dont le rapport est compris entre –1 et 1, on obtient une réduction de la figure initiale.
De plus, si le rapport d’une homothétie est exactement égal à –1, cela correspond à une symétrie centrale, vue en 5ème.

Comment appliquer une homothétie ?

On commence par s’entraîner sur des points, comme dans la figure ci-dessous.

Entraînement homothésie1

Traçons l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport 2.

1. Le rapport est positif, donc on trace la demi-droite [OM)

Entraînement homothétie2

2. Avec un compas, on prend la distance OM, et on la reporte deux fois à partir de O.
On place alors M’.

Entraînement homothétie3

Reprenons cette figure, et traçons l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport – 4.

1. Le rapport est négatif, donc on trace la demi-droite [MO)

Entraînement homothétie4

2.  Avec un compas, on prend la distance MO, et on la reporte quatre fois à partir de O
On place alors M’.

Entraînement homothétie5

On procède de la même manière pour tracer des images de figures entières.

Par exemple, pour tracer l’image d’un triangle, il suffit de tracer l’image de ses 3 sommets, puis de les relier.

Cas particulier

Il arrive parfois que le centre de l’homothétie est un point de la figure elle-même.
Par exemple, voici un parallélogramme ABCD en bleu, et son image A’B’C’D’ en rouge, par l’homothétie de centre A, de rapport 2. 

Cas particulier

Notez que A et A’ sont confondus.

Autre exemple avec l’homothétie de centre A, et de rapport – 1,5 :

cas particulier suite

Propriétés de l’homothétie


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