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Mathématiques

Calculer une mesure d’angle avec la trigonométrie en 3ème

On peut utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle dont on connaît deux longueurs, et dont on cherche à trouver une mesure d’angle.

Essayons de calculer la mesure de l’angle FÊD dans le triangle rectangle ci-dessous.

Mesure d'angle et trigonométrie

Pour cela, on dispose des longueurs DE et DF, qui sont… les côtés adjacent et opposé. Nous allons utiliser la tangente.

On écrit : 

Capture d’écran 2016-06-14 à 09.52.31

On remplace les noms des longueurs par leur valeur : 

Capture d’écran 2016-06-14 à 09.52.57

Nous savons donc ce que vaut la tangente de FÊD (4,3 ÷ 6,5 est à peu près égal à 0,661), mais ça ne nous intéresse pas. 
Ce qu’on veut, c’est la mesure de l’angle FÊD, en degrés !

Heureusement, la calculatrice sait retrouver une mesure d’angle si on lui donne une tangente. Cependant, nous n’allons pas utiliser la touche « tan » directement, car cette touche sert lorsqu’on connaît déjà la mesure d’angle, et qu’on cherche à obtenir la tangente associée à cet angle (notamment, lorsqu’on calcule une longueur). 

Ici, c’est l’inverse. On connait la tangente, et on veut savoir à quelle mesure d’angle cela correspond. Il y a de fortes chances que la touche « tan » de la calculatrice ressemble à ça :

Tangente

C’est-à-dire qu’il y ait un petit « tan-1 », « Atan » ou « atn » écrit dans une couleur différente, au-dessus de la touche « tan ».  Cette fonction, appelée « arc tangente », permet de faire ce que l’on souhaite : retrouver une mesure d’angle lorsqu’on connaît la tangente.

Pour l’utiliser, il faut appuyer sur une touche « Shift » ou « Seconde », généralement située en haut à gauche de la calculatrice, puis appuyer sur la touche « tan ». Il faut parfois faire le même genre de manipulation quand on calcule une racine carrée après avoir appliqué le théorème de Pythagore.

Reprenons. Nous avions trouvé :

Capture d’écran 2016-06-14 à 09.56.16

On calcule avec la calculatrice : tan-1(4,3 ÷ 6,5) ou Atan(4,3 ÷ 6,5) ou Atn(4,3 ÷ 6,5).

C’est un calcul qu’on préfère ne pas écrire en 3ème, car justement la façon de l’écrire dépend de la calculatrice.

La calculatrice donne la mesure de l’angle : FÊD ≈ 33° (arrondie à l’unité).

Si vous trouvez autre chose, vérifiez que la calculatrice est bien réglée en degrés (« D » ou « DEG » apparaissent en haut de l’écran). 

Voici la solution complète :

Trigonométrie 3ème

Dans le triangle DEF rectangle en D :

Capture d’écran 2016-06-14 à 09.58.17

(à ce moment, nous calculons tan-1(4,3 ÷ 6,5), mais inutile de l’écrire). 

Ainsi, FÊD ≈ 33°.

On peut facilement trouver la mesure de l’autre angle aigu, en calculant 90° – 33° = 57°.

La trigonométrie permet aussi de calculer une longueur manquante dans un triangle rectangle.

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