Remonter

Mathématiques

Distributivité : Factoriser et Réduire en 4ème

La distributivité est une application du calcul littéral qui permet de transformer une somme en un produit (factoriser), ou l’inverse (développer). 

Retrouvez ici les formules de distributivité avec des liens vers des sites pour s'entraîner et ici la fiche pour savoir développer un produit, c'est-à-dire le transformer en somme. 

Factoriser

Il faut également apprendre à factoriser : transformer une somme en un produit, c’est-à-dire passer de « ka + kb » à « k(a + b) ». 
Le verbe « factoriser » vient d’ailleurs du mot « facteur » qui désigne des nombres que l’on multiplie.

Pour factoriser une somme, il faut d’abord essayer de la réécrire en transformant les termes de cette somme en produits comportant un même nombre. On appellera ce nombre le facteur commun.

Un exemple : 

Factorisons 4y + 12 

4y + 12
4 × y + 4 × 3        
4y signifie 4 × y et 12 peut se remplacer par 4 × 3
4(y + 3)                 
on applique la distributivité, le facteur commun est 4

Nous avons donc fait l’inverse d’un développement.
Notez que 12 est aussi égal à 6 × 2, mais cela n’aurait pas été intéressant car en transformant 12 en 6 × 2, on n’aurait pas pu faire apparaître 4 comme facteur commun.

Factorisons 14 – 42a 

14 – 42a
7 × 2 – 7 × 6a    
14 et 42 sont des multiples de 7
7(2 –  6a) 
Nous avons factorisé 14 – 42a par 7, mais on pourrait faire mieux ! 
Dans la parenthèse, nous trouvons 2 – 6a… qu’on pourrait aussi factoriser par 2. Cela signifie qu’on peut factoriser par un nombre plus grand que 7.

Lorsqu’on factorise, on cherche à faire en sorte que la somme ou la différence obtenue dans la parenthèse ne puisse pas être factorisée à nouveau. Tout comme lorsqu’on simplifie une fraction, et qu’on cherche à diviser le numérateur et le dénominateur par le plus grand nombre possible !

14 – 42a
14 × 1 – 14 × 3a                
14 et 42 sont aussi des multiples de 14 !
14(1 –  3a)

Factorisons 5x + x² 

5x + x²
x × 5 + x × x         
5x signifie 5 × x, qu’on peut écrire x × 5
x(5 + x)

Factorisons 12x + 3x² 

On remarque que 12 et 3 sont des multiples de 3, et que x est un facteur commun.
Nous devrions donc factoriser par 3 et par x… ce qui revient à factoriser par 3x !
12x + 3x²
3x × 4 + 3x × x 
3x(4 + x)

Factorisons 9x – 2x 

9x –2x
x × 9 – x × 2
= x(9 – 2)
Ici, c’est un cas particulier : on peut calculer la différence entre parenthèse, 9 – 2 = 7.
Ainsi, x(9 – 2) = x × 7, qui peut s’écrire 7x…
Nous pouvons passer de 9x – 2x à 7x, ce qui revient à calculer la différence 9 – 2 = 7. Ce cas particulier de la factorisation s’appelle une réduction.

Réduire


Vous devez être inscrit sur Les Clefs de l’Ecole
pour lire l’intégralité de la fiche pédagogique.

Je m'inscris gratuitement
Je m'identifie